Los infinitos Cantorianos.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de dos conjuntos infinitos que constan de iguales elementos, que tienen el mismo número y que son equivalentes?: Se contestó que había una correspondencia uno a uno entre los elementos de dichos conjuntos.

Dedujo que el número cardinal de un conjunto era la característica que tenía en común con todos los conjuntos equivalentes. Después, pensó que tal cardinalización podía aplicarse a conjuntos que contuvieran infinito número de objetos. Así, por una parte, reconoció como cardinales a los conjuntos finitos de números naturales, mientras que, a los conjuntos que contenían infinito número de elementos les llamó cardinales transfinitos o potencias transfinitas. Es prudente señalar que la noción de infinito en Cantor, se da en función de la serialidad, continuidad y órden de los números naturales.

¿Esto condiciona la noción de infinito a un sentido bidimensional?; Como ejemplo evidente de un cardinal transfinito, Cantor, refería el conjunto de todos los números naturales, el cual, como todos sabemos, jamás termina. Así, cualquier conjunto con infinito número de elementos podía ser indicado con un signo convencional: Aleph-cero.

Antes de seguir hemos de cuestionar algunas cosas:

¿Un sistema con infinitos elementos puede ser conjuntado?

¿No al conjuntarlo se vuelve finito?; ¿Es legítima la equivalencia uno a uno entre los elementos de conjuntos infinitos numerables? ¿Qué ocurre si los elementos de un conjunto no refieren la misma clase de magnitudes o ubicuidad que los del otro conjunto relacionado?; ¿Resolvemos la inequidad quitándole al número toda connotación empírica, convirtiendo cada elemento y al conjunto mismo en una pura abstracción?; ¿Cómo podemos poner en correspondencia un infinito número de átomos de uranio con un infinito número de electrones de hidrógeno?; ¿El conjunto de todos los átomos de todos los elementos existentes en el universo constituye otra especie de conjunto infinito? Si se comparan entre sí los tamaños de estos varios conjuntos infinitos constituidos por unidades empíricas con categoría existencial ponderable; unos infinitos resultarán mayores que otros, pero, tendremos problemas, en tanto, no difieren en número mas son distintos en contenido empírico, es decir, son significantes de distintas clases de cosas, por lo tanto, no es legítima la relación uno a uno entre cualquier sistema infinito y Aleph-cero, el modelo primordial de Cantor.
Tal conjunto infinito de los números naturales al cual Cantor le llamó “aleph-cero”  resulta entonces único y todo conjunto que pongamos en relación con el habrá de justificar su correspondencia como equivalencia. Al parecer, Cantor tomó por equivalencia lo que en realidad era una comparación. La equivalencia entre sistemas infinitos se convierte en ilegítima, en tanto, no es lo mismo relacionar conjuntos infinitos abstractos (Por ejemplo pensar que es mayor el conjunto infinito de todos los números naturales que el conjunto infinito de todos los números pares) que relacionar conjuntos infinitos de cosas ponderables. Así, el conjunto de todos los infinitos ponderables y no ponderables constituiría el mayor infinito posible el cual puede ser señalado con un signo matemático que represente al conjunto de todos los conjuntos, más, si a tal concepción se llega después de tanta búsqueda racional, hubiese sido mejor no haber perdido el tiempo revisando postulados y axiomas, quedándonos satisfechos con nuestras concepciones cosmogónicas y metafísicas adolescentes como el Tao, el nirvana o con cualquier filosofía esotérica, así sabríamos quien es aquel que fue, es y será siempre, conoceríamos lo que es la omnipresencia y desde una juvenil y alegre sugestión daríamos testimonio de nuestras cosmovisiones. Por esto es que nos empeñamos en examinar cuanto de auténtica verdad existe en los conceptos de George Cantor, en las nociones de David Hilbert o en la geometría de Riemann.
Ahora, después de ver que atrás del rigor teoremático existen ficciones como el viaje al pasado que promueve Stephen Hawking en su libro “historia del tiempo”;  como el punto de densidad infinita matriz del Big Bang que vislumbró el sacerdote francés Georges Lemaitre, o como la desaparición del tiempo dentro de un hoyo negro (ocurrencias que el profesor Einstein veía con sospecha) nos atrevemos a expresar nuestra visión desde otro complexo semántico y, por esto mismo,  dudamos de la consistencia empírica de los espacios hiperbólicos o elípticos no aleatorios o ajenos al espacio Euclideo, así como de la diferente acción del tiempo en una facción espacial Riemanniana.   

¿Cómo una progresión geométrica infinita puede ser puesta en correspondencia con un conjunto infinito de elementos fenomenales?

De aquí, podemos mirar como la lógica que ampara al pensamiento matemático puede excederse y caer en la vulgar paradoja, como por ejemplo, la de los gemelos, donde el autor de tal cuento imagina que el tiempo consiste en la medición de la durabilidad de un evento y por ello cree que es posible dilatar la temporalidad en el mundo fenoménico. Por estos dogmas, surgidos de la mala interpretación de la relatividad es que se ha desvirtuado el pensamiento que justificaría a la filosofía como ciencia. Nadie, ni con la tecnología del año 4000 D.C será capaz de ir al pasado, asesinar a su propio abuelo y, por ende, no nacer.

En éste marco epistemológico se mueven los eruditos cuando afirman que los infinitos puntos de una recta pueden corresponder a los infinitos puntos de un plano. Si esto fuera verdadero en el mundo real todas las distancias medirían lo mismo y las paradojas de Zenón no serían antinomias.

Cuando Cantor hace equivaler los infinitos puntos de una recta con los infinitos puntos de un plano debe haberlo hecho conciente de que, si tal equivalencia correspondiera al mundo concreto no habría magnitudes, y daría lo mismo la densidad de una masa que de otra. ¿Acaso al decir “puntos” los teóricos hablan de las mónadas Leibnizianas? ¿No es esto tan fantasmagórico como el más allá que espera al vivo después de la muerte; como la reencarnación de las almas que alucinaron los pitagóricos o como la música de los planetas que ingenuamente promovió  Kepler al relacionar equivocadamente los intervalos musicales con los miembros de un sistema planetario sin reconocer que ambos sistemas pertenecen a distintas categorías existenciales?
Si bien, al conjunto finito de los dedos de la mano de un ser humano le llamamos cinco, nada tiene que ver tal cinco con cinco lunas.

Si los átomos de todo el universo pueden ponerse en relación uno a uno con los elementos de aleph-cero, entonces el conjunto de todos los átomos del universo constituye un número cardinal transfinito ponderable. Habrá, sin embargo, por las razones que he expuesto, incompatibilidad sustancial entre sistemas infinitos ponderables y cualquier especie de cardinal transfinito si acaso se intentase poner en relación distintas clases de cosas. De aquí que los infinitos de Cantor parezcan mayores o menores entre si. No es lo mismo lo que representa un número natural que lo que hacemos existir entre dos guarismos. No es lo mismo la serie infinita de decimales de “π” que la serie infinita de números primos.

Existen varias inconsistencias de origen en los planteamientos del profesor Georg Cantor. Primero: ¿Es posible concebir como conjunto a todos los números naturales?; Si es posible hacer eso, entonces ¿Qué impediría construir un aleph-cero con todos los espacios consecuentes en cuatro dimensiones?; ¿No esta construcción iría en contra de los principios de la teoría de la relatividad, dándonos como resultado un espacio infinitamente extenso equivalente al espacio Newtoniano?; La importancia de las investigaciones de Cantor (que por cierto mermaron su salud mental) consiste en enseñar como, extrayendo de la serie infinita de los números naturales todos los números pares, dichos números pares constituyen también un cardinal transfinito; No obstante que existen más números naturales que números pares.

Tenemos la obligación de revisar exhaustivamente el campo semántico en que se muestran tales determinaciones conceptuales, en tanto, de tal precisión semántica dependerá nuestra categoría de verdad y el aval de nuestra certidumbre. El pensamiento lógico matemático, no es suficiente si aspiramos a una determinación filosófica y no sólo científica.

¿En qué momento el pensamiento matemático se deslinda de los objetos ponderables y deja de ser representante del mundo empírico?; Preguntar esto es de suma importancia, toda vez que, de la respuesta adecuada dependerá nuestra valoración de la verdad matemática en tanto ésta, aspire a ser el recurso cognoscente por excelencia de las estructuras cósmicas y no sólo se reduzca al recreo de la razón pura.

Afortunadamente para la tecnología esto no ocurrió con las ecuaciones sobre electromagnetismo de Maxwell, las cuales fueron asombrosamente predictivas de los fenómenos del mundo real.

Una verdad sólo es cierta si corresponde a la realidad de nuestro umbral químico-físico, es decir lo comprendido entre el objeto cósmico más remoto probable y los mundos posibles que subyacen en las dimensiones infinitesimales. Toda conjetura teórica, sin equivalente en el mundo extenso, sólo nos indica verdades -en el mejor de los casos- profundamente lógicas pero que pertenecen únicamente a la noosfera, como la quinta dimensión o “el noveno plano de la realidad” Esta es la razón por la que tanto nos importa que los infinitos concebidos por George Cantor no pertenezcan únicamente al mundo ideal como el viaje al pasado inscrito en las ecuaciones cosmológicas de Einstein.

Aun cuando todo es posible en el ámbito de los procesos mentales (excepto imaginar la no existencia del espacio); en dicha noosfera, impera lo no físico de las estructuras, es decir, lo puro especulativo.

Es cierto que casi todo el universo ponderable resulta susceptible de estructuración matemática, mas, esta situación, no es reversible; no todas las exposiciones matemáticas encuentran correspondencia fenomenal.

Al estudiar la procedencia de nuestras nociones matemáticas, nos damos cuenta en que momento los signos abstractos dejan de referir sustancias y eventos físicos y pasan a ser deducciones puramente mentales.

Si bien, el hombre instaló en su aparato psíquico el concepto de número, de triangularidad,  curvatura etc. Tomando información de las relaciones que observó en el mundo natural, la noción de infinito habría de ser construida de manera más compleja. Pudo ser que la contemplación del cielo le haya impulsado a reflexionar sobre lo que jamás encuentra fin, pudo ser que la serie de los números en su ordenación natural y con su abrumadora prosecución eterna le hayan obligado a pensar en la fascinación de lo interminable. Como hubiese sido, su concepción, de alguna manera no necesitó de comprobación experimental, la extensión infinita era una realidad intuida, en tanto entre un número natural y su consecuente ordinal, necesariamente habría habido extensión, mas, tal aseveración, por lo general, provenía del pensamiento no riguroso. Aunque también los doctos, de algún modo sabían que había algo que necesariamente habría de seguir después de cualquier frontera que se quisiera imponer a aquello que se llamaba infinito; así se tratase de una proyección bidimensional, de la suma de series alternas infinitesimales o de una progresión en cuatro dimensiones. En todos los casos donde se mencionara lo infinito habría de existir la extensión como necesidad primordial.

Las mentes más agudas dedujeron que no importaba cuanta distancia hubiera entre el cero y el uno de una serie ordinal infinita. Si en otra similar, aparecía una muy mayor proporción entre sus miembros, ninguna de las series era mayor o menor por eso. Desde la época del sacerdote Jaime Balmes, se decía que no tenía sentido sumar a una recta infinita (representada por la serie positiva y negativa de los números naturales) otra recta paralela igualmente infinita.

¿Estaban hablando ya en ese entonces de puntos virtuales constituyentes de una trayectoria que no podía equivaler a una posibilidad factual?

Aristóteles categorizaba al infinito como una pura potencia, negándole así  posible acto o ponderabilidad, es decir, consistencia extensa.

El filósofo, intuía que lo infinito nunca podría ser corroborado por los sentidos. Ahora, gracias a Georg Cantor y a otros pensadores matemáticos, sabemos que el infinito no tiene que ser una cantidad. Y no consiste como cantidad puesto que lo infinito no es susceptible de aumento, ni merma su infinitud ante un decremento.

Al no poderse mostrar equivalencia –por ejemplo- entre una permutación infinita, matemáticamente correcta y lo ponderable del mundo fenoménico, tal infinitud: ¿Queda inscrita sólo en la noosfera, es decir, en el cosmos virtual del entendimiento?; ¿La fuerza de la lógica nos enseña que toda visión lógico matemática ha de corresponder necesariamente a lo posible fenomenal, como algunas series de Fibonacci o como la sección áurea que manejan los artístas?: Si la correspondencia mencionada entre lo lógico matemático y lo fáctico fuese corroborable, El espacio Galileano, infinitamente extenso, sería real (aunque sólo lo fuera como sustrato absoluto) así,  dentro de la infinitud volumétrica se daría la no-simultaneidad y las curvaturas espaciales Riemannianas; resultaría igualmente real una recta infinita que fungiera como diámetro de una esfera infinitamente expandida. Lo mismo, al encontrar la razón secuencial entre los números primos, estaríamos encontrando la estructura primaria de lo cósmico; las primeras ocurrencias de Dios.

Para entender la factibilidad de los infinitos de Cantor reflexionemos como en el mundo real, no podemos separar una especie de espacio de otra, si se pudiese hacer, no habría secuencia ni los mundos tendrían aleatoriedad, recordemos que espacio no es sólo aquello que está desocupado o lo que media entre una masa y otra ¿No acaso el vacío entre uno y otro espacio supuestamente separados sería un no-espacio? ¿Quién puede siquiera pensar en un no-espacio?; hasta a la imaginación le está negada la representación de lo inespacial.

Dichos espacios, supuestamente separados,  necesariamente habrán de lindar. De otra manera, estaríamos extinguiendo la distancia y el ahora remoto de algún sistema estelar no contemporáneo estaría presente.

¿Acaso todos los espacios posibles son herentes entre si?

La relatividad del profesor Einstein y las geometrías no euclideas, han extendido indebidamente, hasta la realidad fenomenal, lógicas que únicamente pertenecen al mundo abstracto de las entidades matemáticas. Muchas de tales figuraciones no proceden como eventos, es decir, son verdaderos -como algunos infinitos Cantorianos-  sólo en el mundo de las ideas.

“Los más profundos teoremas matemáticos han de poder ser explicados al primer hombre de la calle que te encuentres” -opinaban los grandes genios de esta bella disciplina- 

Algunos profesores con doctorado en física teórica aprueban el dislate de un no-espacio antes de la gran explosión, lo cual, resulta pueril. Otros, igualmente acreditados académicamente creen con gran ingenuidad en el viaje a través del tiempo. Las paradojas que de tal creencia resultan, demuestran la inconsistencia de pretender que las ecuaciones correspondan necesariamente a los eventos. Cierto teorema de la geometría contemporánea afirma: “Existe cuando menos un punto” ¿Acaso si existe cuando menos un punto, dicho punto carece de exterior?

Creo firmemente que el espacio no tiene naturaleza y que, ninguna creación cósmica pudo tener lugar en un no-espacio, en tanto, lo primigenio, tendría que ser inextenso.  Aceptar esta inextensión prereal,  haría caer a nuestra indagación en el terreno sofista e inconsistente de la metafísica.

Nada nos impide considerar una circunstancia espacial infinita y nos es dificil encontrar algo inespacial entre -por ejemplo-  regiones galácticas hiperbólicas y elípticas.
¿Quién podría negar un siempre más allá consiguiente, después de cualquier punto inercial por remoto que éste se encuentre respecto al observador?

Dicho punto inercial, remoto, no contemporáneo,  puede ser secuenciado por un ordenador y ser ubicado en algún lugar de un conjunto infinito.¿Existe éste lugar?; ¿La densidad o la constitución sutil de una masa alteran la extensión espacial?
¿El hecho de aceptar la curvatura espacial implica la extinción de un siempre más allá tipo Galileano? ¿No quedaría necesariamente en cualquier más allá posible (el exterior de cualquier conjunto infinito Cantoriano) la pureza de lo absolutamente extenso? ¿No lo absolutamente intenso dejaría un afuera? ¿Es legítimo pensar que el espacio puro no existe, como afirma Nicolai Hartmann?

¿Cómo separar entonces las fronteras curvas del tiempo-espacio local, de la majestad inmensa de lo infinito, de la <

> no humana?

En las ciencias rigurosas, es peligroso el terreno de las hipótesis en tanto, estas, no aseguren la correspondencia entre la teoría y el mundo de los fenómenos, por ello, es preciso insistir:

¿Cuándo o cómo dos espacios diferentes dejan de ser co-herentes en el mundo eventual? ¿Existe acaso un no-lugar? ¿Hay un último sustrato -el autentico <

> mas sutil que la nada cuántica?

Si éste <

> se mueve según la teoría de las densidades de las masas y la gravedad ¿No dejaría su plaza al desplazarse y así a sucesivamente?

Es difícil pensar que cuando algo se desplaza se lleve consigo la plaza que ocupaba, el movimiento resultaría ilusorio y las distancias serían ficticias. ¿Dónde está exactamente el lugar que ocupó nuestro sol hace mil millones de años? ¿Acaso dicho lugar también se ha desplazado? Si así hubiese ocurrido ¿No a su vez desocupó la plaza? ¿Usted que cree? ¿Es o no una realidad ponderable el Espacio formulado por Newton no obstante la curvatura de Riemann y los demás accidentes como los agujeros negros?; Aún si fuera cierto un colapso espacio-temporal ¿Como puede negarse la consiguiente extensión?

Si de hecho no podemos de ninguna forma comprobar la infinitud por medio de los sentidos ¿Qué  tanto podemos fiarnos de una verdad lógico matemática para asegurarnos que tal o cual estructura matemática es equivalente de una estructura cósmica?

Supongamos que un volumen infinitamente extenso es irreal debido a los planteamientos de la relatividad y sus modelos de universo curvo, a la topografía espacial,  a las diversas densidades y oquedades siderales o debido también a la imposibilidad de establecer un punto referencial en reposo total ; ¿Cómo afirmar que después de las últimos vestigios de realidad espacial ponderable termina lo extenso?; Si a esta cuestión no pueden responder los relativistas, el espacio Galileano es posible, Y esto no implicaría un único rector temporal ni un <

> estacionario. Este espacio, Vislumbrado por Newton, carecería de exterior, y no tendría porqué ser no inercial, aunque ¿Hacia donde se movería el todo “la mayor consumación”, es decir, “el mayor cardinal transfinito posible”; el conjunto de todos los conjuntos posibles, donde una galaxia puede ser visualizada como un simple miembro de un subconjunto infinitesimal?

La hipótesis cosmológica que asegura que antes de la gran explosión todo estaba concentrado en un punto es infantil y romántica en tanto pretende que de tal evento proviene el espacio. Si existe un punto, existe necesariamente antes un espacio circunstante. Por esta reflexión digo que el espacio no tiene naturaleza ni creador; si existe un punto generatriz como imaginan los físicos más locuaces, éste debe haber sido necesariamente extenso, un punto adimensional e inextenso es un idealismo falaz, aunque es peor pensar en una nada generadora de la realidad física.

Cantor, imaginó que había determinado el infinito cuando vislumbró conjuntos de conjuntos y los nominó con índices, después, se dio cuenta que los cardinales transfinitos eran agrupables y habló -como un esotérico- del mayor de todos los conjuntos.

Si las entidades matemáticas absolutamente abstractas dejan de ser referentes del mundo empírico, es posible que los infinitos de George cantor sean Cabalísticos e improcedentes, no obstante la contundencia lógica que los sustenta. Esto no impide que el trabajo del gran matemático tenga una indescriptible belleza y que induzca a la mente a intuir los lugares más remotos e inaccesibles de lo humano en auténticos razonamientos apriorísticos. Sin duda Cantor fue un visionario.

Teorema: Sin extensión no hay infinito. Siempre hubo cuando menos un punto extenso.

Cuando Newton y Copérnico vislumbraron los movimientos planetarios, antes habían observado los cielos profundamente. Emmanuel Kant nunca dijo que la razón pura procedía sin antecedentes empíricos.

¿Qué observa el investigador antes de construir una noción de infinito, si, éste, es lo más inmenso que la mente puede concebir? ¿Cuáles son las fuentes empíricas, los <

> con que cuenta el observador para tener acceso al infinito?

Parece ser que el infinito cósmico ponderable es lo más complejo de comprobar y que por ello hemos de depositar nuestra confianza en la verdad lógico matemática.

Después de todo, muchas de nuestras certidumbres son virtuales ¿René Descartes exclamaría ahora: “No pienso, luego no existo”?

Sólo unas fracciones de duración existencial corresponden a la vida humana. Con humanidad o sin humanidad el infinito y lo extenso resultan inextinguibles. Pretender conocer lo supremo es una soberbia risible, por eso con el permiso de ustedes, me retiro a tocar la guitarra…si observas el diapasón de este instrumento (un sistema finito),  encontraras infinitas combinaciones entre elementos y conjuntos, series y progresiones.

El infinito ya no parece lejano, sólo hay que sintetizarlo. A lo mejor es pequeñito como un planeta, de todos modos,  la inmensidad cósmica es infinita, esto nadie puede negarlo aunque nuestra noción de inmensidad proceda de un aparatito psíquico.

El infinito para mi ya no es una esperanza.

Bibliografía:

AMERICAN PSYCHOLOGICAL ASSOCIATION (1983). Publication manual of the American Psychologial Association. Tercera Edición. Washington, D,C.:APA

Postulados de la ciencia del espacio, por William Kingdon.
Teoría de grupos, por Sir Arthur Stanley Eddington.
El infinito, por Hans Hahn
El pensamiento matemático, por Bertrand Russell
Geometría de Riemann, por Riemann
Las geometrías no Euclideas.  Bolyai, Gauss, Lobachewsky.
Ecuaciones cosmológicas de Einstein, por H. Minkowsky
El enigma de Fermat, por Simón Singh
Galileo, por James Reston junior.
El universo en una cáscara de nuez, por Stephen Hawging.
La poesía del universo, por Robert Osserman
Giordano Bruno, por Michael White.
História de las matemáticas, por Richard Mankiewicz
El Caos, por Henry Poincaré.
Teoría de la relatividad, por Albert Einstein.
Ontología, por Nicolai Hartmann
Categorías cosmológicas, por Nicolai Hartmann.

 

Miguel Angel Merino García

Autor:

Profesor Miguel Angel Merino García

Universidad de México.

Hay 2 comentarios

September 17, 2007 - 6:55 PM: .(JavaScript must be enabled to view this email address) dice:

Jamás me había topado con semejante pila de ignorancia maloliente, realmente siento vergüenza de mi persona por haber desperdiciado preciosos veinte minutos de mi tiempo en leer esta porquería. Al autor habría que comprarle un librito de matemáticas y hacer que deje de escribir por un rato.


January 16, 2008 - 4:40 PM: antonio chavez toro dice:

Hola, no soy matemático ni cientifico, soy psicólogo con orientación psicoanálítica.
La razón por la cual estaba buscando información sobre los infinitos cantorianos, fue porque el psicoanalista francés Jacques Lacan los llega a mencionar para plantear una fórmula sobre la angustia.
Como le he mencionado yo no estoy familiarizado con estos términos que ud. utiliza, por tanto me gustaria si me pudiera remitir a algun otro trabajo, donde se me pudiera hacer mas sencilo de comprender en que consisten los infinitos cantorianos.

saludos cordiales

Antonio Chávez Toro


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